Determine a solução de cada EDO:
x y^prime=y-x

Passo 1

Estamos resolvendo uma EDO de primeira ordem linear, dada por x,y'=y-x. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, colocamos a EDO na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo por x (assumindo xneq0) temos:
y'-1xy=-1

Passo 3

Reconhecemos que P(x)=-1/x e Q(x)=-1. O fator integrante é
mu(x)=expgl(integral P(x),dxgr)=expl(-integral1x,dxr)=exp(-ln|x|)=1|x|
Para simplificar, escolhemos mu(x)=1/x (considerando x>0 ou absorvendo o sinal em C).

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por mu(x)=1/x:
1xy'-1x^2y=-1x
O lado esquerdo é a derivada do produto y/x, ou seja,
ddxl(yxr)=-1x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integralddxl(yxr),dx=integral -1x,dxLongrightarrowyx=-ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicamos por x para isolar y:
y=xl(-ln|x|+Cr)=C,x - xln|x|

Resposta

A solução geral é y(x)=C,x - xln|x|, com constante arbitrária C.

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