( 2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^3+2 x+(3 y^2 x+1) y^prime=0

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
y^3 + 2x + (3 y^2 x + 1) y' = 0
Vamos resolver essa EDO identificando o tipo de equação e aplicando os métodos apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y' :
(3 y^2 x + 1) y' = - y^3 - 2x

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por 3 y^2 x + 1 para obter y' sozinho:
y' = - y^3 - 2x3 y^2 x + 1

Passo 4

Observamos que a equação pode ser exata. Para verificar isso, escrevemos a EDO na forma padrão:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
onde:
M(x, y) = y^3 + 2x
N(x, y) = 3 y^2 x + 1

Passo 5

Para confirmar se a equação é exata, verificamos se as derivadas parciais são iguais:
partial Mpartial y = 3y^2
partial Npartial x = 3y^2
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = y^3 + 2x
partial Fpartial y = N = 3 y^2 x + 1

Passo 7

Integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral (y^3 + 2x) , dx = y^3 x + x^2 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 8

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N :
partial Fpartial y = 3 y^2 x + g'(y) = 3 y^2 x + 1
Portanto:
g'(y) = 1 implies g(y) = y + C
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo g(y) na expressão de F(x, y) :
F(x, y) = y^3 x + x^2 + y + C

Passo 10

A solução geral da EDO é dada por:
F(x, y) = C implies y^3 x + x^2 + y = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y^3 x + x^2 + y = C

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