( 2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
O problema pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Vamos resolver essa EDO identificando o tipo de equação e aplicando os métodos apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter
sozinho:
Passo 4
Observamos que a equação pode ser exata. Para verificar isso, escrevemos a EDO na forma padrão:
onde:
Passo 5
Para confirmar se a equação é exata, verificamos se as derivadas parciais são iguais:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Passo 10
A solução geral da EDO é dada por:
Resposta
A solução geral da EDO é: