(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime=yx-e^2 yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial ordinária (EDO). A questão pede para encontrar a solução geral da EDO:
y^prime = yx - e^2 yx
Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir:
v = yx
Isso significa que y = v cdot x . Agora, vamos derivar y em relação a x :
y^prime = v + x cdot v^prime

Passo 3

Substituindo y e y^prime na equação original:
v + x cdot v^prime = v - e^2v
Simplificando os termos:
x cdot v^prime = - e^2v
Isolando v^prime :
v^prime = - e^2vx

Passo 4

Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis v e x :
dve^2v = -dxx
Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral e^-2v , dv = - integral 1x , dx
Integrando:
- 12 e^-2v = - ln|x| + C

Passo 5

Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
12 e^-2v = ln|x| - C
Podemos reescrever C como C' :
e^-2v = 2 ln|x| + C'
Tomando o inverso:
e^2v = 12 ln|x| + C'

Passo 6

Lembrando que v = yx , substituímos de volta:
e^2(yx) = 12 ln|x| + C'
Tomando o logaritmo natural dos dois lados para isolar y :
2 cdot yx = -ln(2 ln|x| + C')
Finalmente, isolamos y :
y = -x2 ln(2 ln|x| + C')

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = -x2 ln(2 ln|x| + C)

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