(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equação diferencial ordinária (EDO). A questão pede para encontrar a solução geral da EDO:
Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Isolando
:
Passo 4
Essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Integrando:
Passo 5
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Podemos reescrever
como
:
Tomando o inverso:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados para isolar
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da EDO é: