Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas lineares.
\left\{\begin{array}{c}3 x-5 y=2(x-y)+1 \\\\ 6 y-3(x-3 y)+2=-x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema com duas equações envolvendo expressões lineares em x e y. Vamos primeiro expandir e simplificar cada equação para obter um sistema linear na forma padrão e depois usar o método de substituição para encontrar (x,y).

Passo 2

A primeira equação é
3x - 5y = 2(x - y) + 1.
Expande-se o lado direito:
3x - 5y = 2x - 2y + 1.
Transpondo termos para o lado esquerdo:
3x - 5y - 2x + 2y = 1 \quad\Rightarrow\quad x - 3y = 1.

Passo 3

A segunda equação é
6y - 3(x - 3y) + 2 = -x.
Expande-se o parêntese:
6y - 3x + 9y + 2 = -x.
Agrupando termos semelhantes e reorganizando:
15y - 3x + 2 = -x \quad\Rightarrow\quad 2x - 15y = 2.

Passo 4

Agora temos o sistema equivalente
\begin{cases} x - 3y = 1,\\\\ 2x - 15y = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem x = 1 + 3y. Substituindo na segunda:
2(1 + 3y) - 15y = 2 \quad\Rightarrow\quad 2 + 6y - 15y = 2 \quad\Rightarrow\quad -9y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.
Logo,
x = 1 + 3\cdot 0 = 1.

Resposta

(x,y) = (1,0).

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