Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas lineares.
\left\{\begin{array}{c}2 x=2+3 y \\\ \frac{1}{y-x}=\frac{1}{x-3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x = 2 + 3y,\\\ \dfrac{1}{y - x} = \dfrac{1}{x - 3}. \end{cases}
O conteúdo principal envolve manipulação algébrica de equações lineares e de frações (equação racional) e precisamos cuidar das restrições dos denominadores.

Passo 2

Da equação
\dfrac{1}{y - x} = \dfrac{1}{x - 3}
podemos igualar os denominadores, desde que y - x \neq 0 e x - 3 \neq 0. Isso dá
y - x = x - 3.

Passo 3

Isolando y obtemos
y = 2x - 3.

Passo 4

Substituímos y = 2x - 3 na primeira equação 2x = 2 + 3y:
2x = 2 + 3(2x - 3) \quad\Longrightarrow\quad 2x = 2 + 6x - 9 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6x - 7 \quad\Longrightarrow\quad -4x = -7 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{7}{4}.

Passo 5

Agora calculamos y:
y = 2\Bigl(\frac{7}{4}\Bigr) - 3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7 - 6}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Verificamos as restrições:
y - x = \frac{1}{2} - \frac{7}{4} = -\frac{5}{4} \neq 0, \quad x - 3 = \frac{7}{4} - 3 = -\frac{5}{4} \neq 0.
Portanto a solução encontrada é válida.

Resposta

(x,y) = \bigl(\tfrac{7}{4},\,\tfrac{1}{2}\bigr).

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