Obtenha o gráfico das seguintes funções usando transformações e indique qual é a imagem da função. Indique também em quais intervalos a função é crescente, e onde é descrescente. Também encontre os máximos e mínimos da função se tiver.
f(x)=-1-2|cos (x+pi)|)

Passo 1

Temos a função dada por f(x)=-1-2l|cos(x+pi)r|. O conteúdo aqui é identificar transformações a partir de g(x)=|cos x|, traçar o gráfico periódico, achar imagem (intervalo de valores), intervalos de crescimento/decrescimento e extremos.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos(x+pi)=-cos x. Dessa forma
f(x) = -1 - 2l|cos(x+pi)r| = -1 - 2l| -cos xr| = -1 - 2l|cos xr|

Passo 3

Ou seja, partimos de g(x)=|cos x|, aplicamos estiramento vertical por 2 (ficando 2|cos x|) e em seguida reflexão no eixo x com translação vertical para baixo em 1 ( -1-dots).

Passo 4

Como 0<=|cos x|<=1, temos
0<=2|cos x|<=2implies -1-2<= f(x)= -1-2|cos x| <= -1-0,
ou seja a imagem é [-3,-1].

Passo 5

O período de |cos x| é pi, logo f(x) também tem período pi. No intervalo fundamental [0,pi] a forma é um ‘V’ invertido: começa em x=0, f(0)=-1-2= -3, sobe até x=tfracpi2, f=-1, depois desce até x=pi, f=-3.

Passo 6

Em cada período [kpi,(k+1)pi], para kinZ:
  • Em [kpi, kpi+tfracpi2], |cos x| vai de 1 a 0, então f(x) sobe de -3 a -1. Ou seja, f é crescente.
  • Em [kpi+tfracpi2, (k+1)pi], |cos x| vai de 0 a 1, então f(x) desce de -1 a -3. Ou seja, f é decrescente.

Passo 7

Os pontos de máximo ocorrem quando |cos x|=0, ou seja cos x=0 em x=tfracpi2+kpi, com valor máximo f=-1.
Os pontos de mínimo ocorrem quando |cos x|=1, ou seja cos x=pm1 em x=kpi, com valor mínimo f=-3.

Resposta

Gráfico: curva em ‘V’ invertido de período pi, iniciando em (-, -3), subindo até -1 no meio do período e descendo até -3 no fim.
Imagem (alcance): [-3, -1].
Crescente em [kπ, kπ+π/2], k∈ℤ.
Decrescente em [kπ+π/2, kπ+π], k∈ℤ.
Máximos: f(x)=-1 em x=π/2+kπ.
Mínimos: f(x)=-3 em x=kπ.

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