Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
(2.0) y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^-4 t, com y(0)=1, y^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 3y' + 2y = e^-4t,
com as condições
y(0)=1, y'(0)=5
O conteúdo usado será a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, resolvendo primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrando uma particular.

Passo 2

Resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
r^2 - 3r + 2 = 0
As raízes são
r = 1 e r = 2

Passo 3

A solução geral da homogênea é
yc(t) = C,e^t + D,e^2t

Passo 4

Procuramos uma solução particular do tipo yp(t) = A,e^-4t. Substituindo na EDO:
yp' = -4A,e^-4t, yp'' = 16A,e^-4t,
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16A,e^-4t - 3(-4A,e^-4t) + 2(A,e^-4t) = (16A +12A +2A),e^-4t = 30A,e^-4t
Queremos que isso seja igual a e^-4t, então
30A = 1 Longrightarrow A = 130
Assim
yp(t) = 130,e^-4t

Passo 5

A solução geral do PVI é
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida calculamos
Em :
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira equação da segunda (escrevendo ):
E então

Resposta

y(t) = -165,e^t + 256,e^2t + 130,e^-4t

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