Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(1+3n)^n+1

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = l(1+3nr)^n+1
e pede para determinar se an converge ou diverge, e em caso de convergência encontrar o seu limite. O conteúdo principal aqui é o estudo de limites de sequências, em particular a família de limites que define a constante e.

Passo 2

Vamos escrever an como produto de duas partes que conhecemos:
an = l(1+3nr)^n ;times;l(1+3nr)
Dessa forma temos dois fatores cujos limites podem ser avaliados separadamente.

Passo 3

Usamos o fato clássico de que
limntoinftyl(1+3nr)^n = e^3,
pois limntoinfty(1+x/n)^n = e^x com x=3. Também é imediato que
limntoinftyl(1+3nr) = 1
Logo, pelo limite de produto de sequências, temos
limntoinftyan = e^3 times 1 = e^3

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^3.

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