Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
e verificar se ela converge ou diverge; em caso de convergência, encontrar o limite. O conteúdo envolve convergência de sequências e uso de limites de frações.
Passo 2
Observe que podemos separar a parte oscilante de sinal e a parte que tende a zero: seja
de modo que
. Note que
é limitada, pois
para todo
.
Passo 3
Vamos mostrar que
. Como o denominador
cresce sem limite, a fração tende a zero:
Passo 4
Aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Para todo
vale
Como
segue que
.
Resposta
A sequência converge e