Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
3^n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = 3^n-1n^2
e decidir se ela converge (e, em caso afirmativo, achar o limite) ou diverge. Vamos usar comparação de ordens de grandeza e o teste da razão para sequências.

Passo 2

Note que o numerador 3^n-1 cresce exponencialmente (base 3>1) enquanto o denominador n^2 cresce apenas polinomialmente. Intuitivamente, toda exponencial de base maior que 1 domina qualquer polinômio quando ntoinfty, sugerindo que anto+infty.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, aplicamos o teste da razão:
an+1an = 3^,n+1-1(n+1)^23^n-1n^2 = (3^,n+1-1),n^2(3^n-1),(n+1)^2 = 3cdot 3^n-13^n-1,cdotn^2(n+1)^2
Quando ntoinfty, temos 3cdot 3^n-13^n-1to 3 e n^2(n+1)^2to1. Logo
limntoinftyan+1an = 3 > 1
Esse resultado implica que an cresce sem limite e, portanto, diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge e seu termo geral tende a +infty.

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