Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
e decidir se ela converge (e, em caso afirmativo, achar o limite) ou diverge. Vamos usar comparação de ordens de grandeza e o teste da razão para sequências.
Passo 2
Note que o numerador
cresce exponencialmente (base
) enquanto o denominador
cresce apenas polinomialmente. Intuitivamente, toda exponencial de base maior que 1 domina qualquer polinômio quando
, sugerindo que
.
Passo 3
Para tornar isso rigoroso, aplicamos o teste da razão:
Quando
, temos
e
. Logo
Esse resultado implica que
cresce sem limite e, portanto, diverge para
.
Resposta
A sequência diverge e seu termo geral tende a
.