Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Estamos com a sequência definida por an=(1+2n)^n. O assunto aqui é limites de sequência e, para ver se diverge ou converge, vamos usar o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Primeiro, note que an>0 para todo n. Para aplicar o teste da raiz, calculamos a n-ésima raiz de an:
raiz[n]an=raiz[n](1+2n)^n=1+2n

Passo 3

Agora, fazemos o limite dessa expressão quando ntoinfty:
limntoinfty(1+2n)=infty>1

Passo 4

Pelo teste da raiz para sequências, se limsupraiz[n]an>1, então an diverge para +infty. Portanto, nossa sequência diverge.
Concluímos que a sequência não converge para um número finito, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge e seu limite é +∞.

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