Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
(1.0) (2 x y-sin x) d x+(x^2+e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(2 x y - sin x),dx + l(x^2 + e^yr),dy = 0
e pede a sua solução geral. Isso cai no conteúdo de equações exatas, onde verificamos se existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = 2 x y - sin x e partial Phipartial y = x^2 + e^y

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partialpartial yl(2 x y - sin xr) = 2x,
partialpartial xl(x^2 + e^yr) = 2x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y)=2xy-sin x em relação a x para obter parte de Phi:
Phi(x,y) = integrall(2xy - sin xr),dx = x^2y + cos x + h(y),
onde h(y) é função de y ainda a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
partial Phipartial y = x^2 + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=x^2+e^y. Logo
x^2 + h'(y) = x^2 + e^y Longrightarrow h'(y)=e^y Longrightarrow h(y)=e^y

Passo 5

Assim a função potencial completa é
Phi(x,y)=x^2y+cos x+e^y
A solução geral da EDO exata é dada por
Phi(x,y)=C,
isto é
x^2y + cos x + e^y = C

Resposta

x^2y + cos x + e^y = C

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