Use o método dos coeficientes a determinar para resolver a EDO y^prime prime-4 y=2 e^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) y'' - 4y = 2e^2x usando o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que vamos encontrar a solução geral dessa EDO, que é composta pela soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e métodos de solução como o dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y'' - 4y = 0 . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx , onde r é uma constante que vamos determinar.
Substituindo na equação homogênea:
y'' - 4y = r^2 e^rx - 4 e^rx = 0
Dividindo por e^rx (que nunca é zero):
r^2 - 4 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = 4 implies r = pm 2
Então, as soluções homogêneas são:
yh = C1 e^2x + C2 e^-2x
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa y'' - 4y = 2e^2x usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é da forma e^2x , assumimos que a solução particular também tem essa forma:
yp = A e^2x
onde A é uma constante que precisamos descobrir.
Calculando as derivadas:
yp' = 2A e^2x
yp'' = 4A e^2x
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação completa:
4A e^2x - 4A e^2x = 2e^2x
0 = 2e^2x
Isso resulta em uma contradição porque nossa suposição inicial yp = A e^2x já está presente na solução homogênea. Portanto, precisamos ajustar nossa suposição multiplicando por x :
yp = A x e^2x
Calculando as derivadas novamente:
yp' = A e^2x + 2A x e^2x
yp'' = 4A e^2x + 4A x e^2x
Substituindo na equação completa:
4A e^2x + 4A x e^2x - 4A x e^2x = 2e^2x
4A e^2x = 2e^2x
Dividindo por e^2x :
4A = 2 implies A = 12
Então, a solução particular é:
yp = 12 x e^2x

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-2x + 12x e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - 4y = 2e^2x é:
y = C1 e^2x + C2 e^-2x + 12x e^2x
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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