Use o método dos coeficientes a determinar para resolver a EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que vamos encontrar a solução geral dessa EDO, que é composta pela soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e métodos de solução como o dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo para
:
Então, as soluções homogêneas são:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo do lado direito é da forma
, assumimos que a solução particular também tem essa forma:
onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação completa:
Isso resulta em uma contradição porque nossa suposição inicial
já está presente na solução homogênea. Portanto, precisamos ajustar nossa suposição multiplicando por
:
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação completa:
Dividindo por
:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes de integração.