Determine a solução da EDOs/PVIs a seguir:
(2.0) y^prime-6 x y=2 x y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y' - 6x,y = 2x,y^2
Este é uma equação de Bernoulli com n=2, ou seja, está na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com P(x)=-6x, Q(x)=2x e n=2. Para resolver, usaremos a substituição
u = y^1-n = y^-1

Passo 2

Dividimos a EDO por y^2 (supondo yneq0), obtendo
y' y^-2 - 6x,y^-1 = 2x
Como
ddx(y^-1) = -,y',y^-2,
introduzimos u = y^-1, de modo que u' = -,y',y^-2. Substituindo na equação, vem
-,u' -6x,u = 2x,
ou seja
u' + 6x,u = -2x

Passo 3

Agora temos uma equação linear em u. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 6x,dxr) = e^3x^2
Multiplicando toda a equação por mu(x), fica
e^3x^2,u' + 6x,e^3x^2,u = -2x,e^3x^2,
que reconhecemos como
ddxl(e^3x^2ur) = -2x,e^3x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^3x^2u = integral -2x,e^3x^2,dx + C
Fazendo t=3x^2, dt=6x,dx, temos
integral -2x,e^3x^2,dx = -13,e^3x^2,
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e^3x^2u = -13e^3x^2 + C Longrightarrow u = -13 + C,e^-3x^2

Passo 5

Voltando para y, como u = y^-1, obtemos
1y = -13 + C,e^-3x^2 Longrightarrow y(x) = 1C,e^-3x^2 - tfrac13
Podemos redefinir a constante ( A=3C) para simplificar a expressão.

Resposta

y(x) = 3A,e^-3x^2 - 1,
onde A é a constante de integração.

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