Determine a solução y(t) da equação diferencial
ddoty(t)+3 doty(t)+2 y(t)=-2 e^-t+1, y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
ddoty(t)+3doty(t)+2y(t)=-2e^-t+1,
com condições iniciais y(0)=1 e dot y(0)=0. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o forçamento, e por fim ajustamos as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
ddotyh+3dotyh+2yh=0
A equação característica é
r^2+3r+2=0Longrightarrow r=-1,;-2
Logo
yh(t)=C,e^-t+D,e^-2t

Passo 3

Para a parte particular, escrevemos o forçamento como soma de -2e^-t e 1.
  1. Para o termo constante 1, tentamos yp1=A. Substituindo:
0+0+2A=1Longrightarrow A=tfrac12
  1. Para o termo -2e^-t, note que e^-t é solução da homogênea, então tentamos
yp2=B,t,e^-t
Calculamos
yp2'=B,e^-t(1-t), yp2''=B,e^-t(t-2),
e
yp2''+3yp2'+2yp2 =B,e^-tl[(t-2)+3(1-t)+2tr] =B,e^-t
Para igualar a -2e^-t precisamos de B=-2. Portanto
yp(t)=-2t,e^-t+tfrac12

Passo 4

A solução geral fica
Agora impomos as condições iniciais. De
Para ,
logo em ,
Resolvendo o sistema
obtemos .

Passo 5

Substituindo C e D na solução geral, chegamos a
y(t) =3e^-t-tfrac52e^-2t-2t,e^-t+tfrac12 =tfrac12+e^-t(3-2t)-tfrac52e^-2t

Resposta

y(t)=tfrac12+e^-t(3-2t)-tfrac52e^-2t

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