Determine a solução
da equação diferencial
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea, depois uma particular para o forçamento, e por fim ajustamos as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
Logo
Passo 3
Para a parte particular, escrevemos o forçamento como soma de
e
.
- Para o termo constante
, tentamos . Substituindo:
- Para o termo
, note que é solução da homogênea, então tentamos
Calculamos
e
Para igualar a
precisamos de
. Portanto
Passo 4
A solução geral fica
Agora impomos as condições iniciais. De
Para
,
logo em
,
Resolvendo o sistema
obtemos .
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, chegamos a