Seja g(t)=f(3 t^3, t^3, e^2 t) e suponha que partial fpartial z(0,0,1)=4.
Calcule g^prime(0)

Passo 1

O enunciado define
g(t)=fl(3t^3,,t^3,,e^2tr)
e informa que
partial fpartial z(0,0,1)=4
Queremos calcular g'(0). Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Definimos as funções internas
x(t)=3t^3, y(t)=t^3, z(t)=e^2t
e calculamos suas derivadas:
x'(t)=9t^2, y'(t)=3t^2, z'(t)=2e^2t

Passo 3

Pela regra da cadeia,
g'(t) =fxl(x(t),y(t),z(t)r),x'(t) +fyl(x(t),y(t),z(t)r),y'(t) +fzl(x(t),y(t),z(t)r),z'(t)

Passo 4

Avaliamo-lo em t=0. Temos
x(0)=0,;y(0)=0,;z(0)=1,
x'(0)=0,;y'(0)=0,;z'(0)=2e^0=2
Logo os termos com fx e fy desaparecem (pois se multiplicam por zero) e sobra
g'(0)=fz(0,0,1)cdot2
Como fz(0,0,1)=4, segue que
g'(0)=4cdot2=8

Resposta

8

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