Determine a solução y(t) da equação diferencial
ddoty(t)+2 doty(t)+2 y(t)=e^-t sin (t), y(0)=0, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante:
ddot y(t)+2dot y(t)+2y(t)=e^-tsin(t),
com condições iniciais y(0)=0, dot y(0)=0. O conteúdo é resolução de EDO linear não homogênea por soma da solução geral homogênea e de uma solução particular, usando o método dos exponenciais complexos.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
ddot yh+2dot yh+2yh=0,
a equação característica é
r^2+2r+2=0;Longrightarrow;r=-1pm i
Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=e^-tl(Acos t+Bsin tr)

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp ao forçamento e^-tsin t, usamos o ansatz complexo zp(t)=A,t,e^(-1+i)t. Aplicando o operador linear L[y]=y''+2y'+2y em zp
L[zp]=2iA,e^(-1+i)t,
e exigindo L[zp]=e^(-1+i)t resulta em
2iA=1Longrightarrow A=-i2
Assim
zp(t)=-i2,t,e^(-1+i)t

Passo 4

A parte real de zp fornece yp. Escrevendo
-i2e^i t=12(sin t - icos t),
vemos que
yp(t)=Rel(zp(t)r) =12,t,e^-tsin t

Passo 5

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) = e^-tl(Acos t+Bsin tr)+12t,e^-tsin t
Impondo y(0)=0 A=0. Derivando e impondo dot y(0)=0 B=0.

Resposta

y(t)=12,t,e^-tsin t

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