Determine a solução y(t) da equação diferencial
ddoty(t)+3 doty(t)-4 y(t)=6 e^-t, y(0)=0, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
ddoty(t) + 3doty(t) - 4y(t) = 6e^-t,
sujeita a y(0)=0 e doty(0)=0.
Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, depois uma solução particular do caso forçado e, por fim, ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
ddotyh + 3dotyh - 4yh = 0
Formamos a equação característica
r^2 + 3r -4 = 0,
cuja solução é
r = 1 ou r = -4
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-4t

Passo 3

Buscamos uma solução particular da forma yp(t)=A,e^-t. Calculamos
dotyp = -A e^-t, ddotyp = A e^-t,
e substituímos na equação original:
A e^-t + 3(-A e^-t) - 4(A e^-t) = 6e^-t ;Longrightarrow; (-6A)e^-t=6e^-t ;Longrightarrow; A=-1
Portanto
yp(t)=-e^-t

Passo 4

A solução geral é
Usamos as condições iniciais:
, então
Resolvendo o sistema
obtemos . Assim

Resposta

y(t)=35e^t+25e^-4t-e^-t

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