Determine a solução da equação diferencial
(p-1)(p+3) y(t)=2 e^{-t}, \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=0
sendo p o operador derivada.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a solução y(t) da equação diferencial dada pelo operador derivada p:
(p-1)(p+3)\,y(t)=2 e^{-t},
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • p é o operador derivada, isto é p=\dfrac{d}{dt}.
  • A equação é linear com coeficientes constantes e é de ordem 2 (produto de dois fatores lineares em p).
  • A função forçante (lado direito) é 2 e^{-t}.
  • As condições iniciais são valores de y e y' em t=0.

Passo 2

Transformo o operador em derivadas comuns para ver claramente a EDO. Como p=\dfrac{d}{dt}, temos
(p-1)(p+3)=p^2+2p-3.
Portanto a equação operador vira a equação diferencial
y''(t)+2y'(t)-3y(t)=2e^{-t}.
Explicação curta: multiplicando os fatores em p usamos a álgebra usual: (p-1)(p+3)=p^2+3p-p-3=p^2+2p-3. Aqui p^2 representa \dfrac{d^2}{dt^2}.

Passo 3

Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
y''+2y'-3y=0.
Proponho solução y=e^{rt}. Substituindo, obtenho a equação característica
r^2+2r-3=0.
Resolvo essa quadrática: as raízes são
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
ou seja
r_1=1,\qquad r_2=-3.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-3t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora procuro uma solução particular y_p(t) da equação completa. A técnica escolhida é coeficientes indeterminados: como o lado direito é 2e^{-t}, tento uma solução do tipo
y_p(t)=A e^{-t},
onde A é constante a determinar. Antes de usar essa forma, verifico ressonância: as raízes da característica são 1 e -3; o expoente do forçamento é -1, que não coincide com 1 nem com -3. Então a forma A e^{-t} é adequada (não preciso multiplicar por t).
Calculo as derivadas:
y_p'(t)=-A e^{-t},\qquad y_p''(t)=A e^{-t}.
Substituo na equação y''+2y'-3y=2e^{-t}:
A e^{-t} + 2(-A e^{-t}) -3(A e^{-t}) = 2 e^{-t}.
Fatorando e^{-t},
(1-2-3)A\,e^{-t} = 2 e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad (-4)A\,e^{-t}=2 e^{-t}.
Como e^{-t}\neq 0, segue
-4A=2 \quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_p(t)=-\tfrac{1}{2}e^{-t}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-3t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Calculo a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t)=C_1 e^{t}-3C_2 e^{-3t}+\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Agora uso y(0)=0 e y'(0)=0:
  • De y(0)=0 obtemos
C_1 + C_2 -\tfrac{1}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1+C_2=\tfrac{1}{2}.
  • De y'(0)=0 obtemos
C_1 -3C_2 +\tfrac{1}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_1-3C_2=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resolvo o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{1}{2},\\[4pt] C_1 -3C_2 = -\tfrac{1}{2}. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C_1+C_2)-(C_1-3C_2)=\tfrac{1}{2}-(-\tfrac{1}{2}) \quad\Rightarrow\quad 4C_2=1,
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C_2=\tfrac{1}{4}.
Então
C_1=\tfrac{1}{2}-C_2=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.]

Passo 7

Substituo C_1 e C_2 na solução geral:
y(t)=\tfrac{1}{4}e^{t}+\tfrac{1}{4}e^{-3t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Posso, se quiser, conferir rapidamente as condições iniciais: em t=0 1/4+1/4-1/2=0 e a derivada em 0 1/4-3/4+1/2=0, ok.

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{4}e^{t}+\tfrac{1}{4}e^{-3t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}

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