Determine a solução da equação diferencial
sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a solução
da equação diferencial dada pelo operador derivada
:
com as condições iniciais
Informações relevantes fornecidas:
-
é o operador derivada, isto é . - A equação é linear com coeficientes constantes e é de ordem
(produto de dois fatores lineares em ). - A função forçante (lado direito) é
. - As condições iniciais são valores de
e em .
Passo 2
Transformo o operador em derivadas comuns para ver claramente a EDO. Como
, temos
Portanto a equação operador vira a equação diferencial
Explicação curta: multiplicando os fatores em
usamos a álgebra usual:
. Aqui
representa
.
Passo 3
Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
Proponho solução
. Substituindo, obtenho a equação característica
Resolvo essa quadrática: as raízes são
ou seja
Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora procuro uma solução particular
da equação completa. A técnica escolhida é coeficientes indeterminados: como o lado direito é
, tento uma solução do tipo
onde
é constante a determinar. Antes de usar essa forma, verifico ressonância: as raízes da característica são
e
; o expoente do forçamento é
, que não coincide com
nem com
. Então a forma
é adequada (não preciso multiplicar por
).
Calculo as derivadas:
Substituo na equação
:
Fatorando
,
Como
, segue
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Calculo a derivada para aplicar as condições iniciais:
Agora uso
e
:
- De
obtemos
- De
obtemos
Passo 6
Resolvo o sistema linear para
e
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
logo
Então
Passo 7
Substituo
e
na solução geral:
Posso, se quiser, conferir rapidamente as condições iniciais: em
dá
e a derivada em
dá
, ok.