Determine a solução da equação diferencial 2 s ′′ − 2 s ′ = 2 t e t que atenda à condição inicial de s = 2 para t = 0 e s ′ = 1 para t = 0.
e t ( t 2 − t )
e 2 t ( t 2 − t )
e t ( 1 2 t 2 − t 2 )
e 2 t ( t 2 − 2 t ) e t
e t ( t 2 − t )
e 2 t ( t 2 − t )
e t ( 1 2 t 2 − t 2 )
e 2 t ( t 2 − 2 t ) e t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso envolve entender equações diferenciais lineares e como encontrar soluções gerais e particulares. Vamos precisar usar métodos como a solução da equação homogênea e a busca por uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A gente vai resolver em duas partes: a solução da equação homogênea associada (
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, achamos a equação característica:
Fatorando, temos:
Isso nos dá duas raízes:
e
. Assim, a solução geral da homogênea é:
onde
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução da forma:
Onde
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Portanto,
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação
:
Simplificando:
Para que isso seja igual a
, devemos ter:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução geral da homogênea com a particular:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
Agora, vamos encontrar
:
Aplicando
:
Então,
Substituindo
na Equação 1:
Passo 7
Com
e
, a solução final fica:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: