Determine a solução da equação diferencial 2 s ′′ − 2 s ′ = 2 t e t que atenda à condição inicial de s = 2 para t = 0 e s ′ = 1 para t = 0.
e t ( t 2 − t )
e 2 t ( t 2 − t )
e t ( 1 2 t 2 − t 2 )
e 2 t ( t 2 − 2 t ) e t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial 2 s'' - 2 s' = 2 t e^t com as condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 1. Isso envolve entender equações diferenciais lineares e como encontrar soluções gerais e particulares. Vamos precisar usar métodos como a solução da equação homogênea e a busca por uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
s'' - s' = t e^t
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A gente vai resolver em duas partes: a solução da equação homogênea associada ( s'' - s' = 0) e uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea s'' - s' = 0. Para isso, achamos a equação característica:
r^2 - r = 0
Fatorando, temos:
r(r - 1) = 0
Isso nos dá duas raízes: r = 0 e r = 1. Assim, a solução geral da homogênea é:
sh(t) = C1 e^0t + C2 e^1t = C1 + C2 e^t
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar depois.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular sp(t) para a equação completa s'' - s' = t e^t. Como o lado direito é t e^t, vamos supor uma solução da forma:
sp(t) = e^t (A t + B)
Onde A e B são constantes que vamos determinar substituindo na equação original.
Calculando as derivadas:
sp'(t) = e^t (A t + B) + e^t A = e^t (A t + B + A)
sp''(t) = e^t (A t + B + A) + e^t A = e^t (A t + B + 2A)
Substituindo na equação s'' - s' = t e^t:
e^t (A t + B + 2A) - e^t (A t + B + A) = t e^t
Simplificando:
e^t (A t + B + 2A - A t - B - A) = t e^t
e^t (A) = t e^t
Portanto, A = t, mas isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Na verdade, como e^t já está na solução homogênea, devemos multiplicar por t para evitar redundância. Então tentamos:
sp(t) = e^t (A t^2 + B t)
Calculando as derivadas novamente:
sp'(t) = e^t (A t^2 + B t) + e^t (2A t + B) = e^t (A t^2 + (B + 2A) t + B)
sp''(t) = e^t (A t^2 + (B + 2A) t + B) + e^t (2A t + B + 2A) = e^t (A t^2 + (B + 4A) t + (2B + 2A))
Substituindo na equação s'' - s' = t e^t:
e^t (A t^2 + (B + 4A) t + (2B + 2A)) - e^t (A t^2 + (B + 2A) t + B) = t e^t
Simplificando:
e^t (0 t^2 + 2A t + (2B + 2A - B)) = t e^t
e^t (2A t + (2B + 2A - B)) = t e^t
e^t (2A t + (2A + B)) = t e^t
Para que isso seja igual a t e^t, devemos ter:
2A = 1 Rightarrow A = 12
2A + B = 0 Rightarrow 2(12) + B = 0 Rightarrow B = -1
Então, a solução particular é:
sp(t) = e^t ( 12 t^2 - t )

Passo 5

Agora, juntamos a solução geral da homogênea com a particular:
s(t) = sh(t) + sp(t) = C1 + C2 e^t + e^t ( 12 t^2 - t )
Podemos reescrever isso como:
s(t) = C1 + e^t ( C2 + 12 t^2 - t )

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais s(0) = 2 e s'(0) = 1 para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para t = 0:
s(0) = C1 + e^0 ( C2 + 0 - 0 ) = C1 + C2 = 2
Então, C1 + C2 = 2 — Equação 1.
Agora, vamos encontrar s'(t):
s'(t) = e^t ( C2 + 12 t^2 - t ) + e^t ( t - 1 )
s'(t) = e^t ( C2 + 12 t^2 - t + t - 1 )
s'(t) = e^t ( C2 + 12 t^2 - 1 )
Aplicando t = 0:
s'(0) = e^0 ( C2 + 0 - 1 ) = C2 - 1 = 1
Então, C2 - 1 = 1 Rightarrow C2 = 2 — Equação 2.
Substituindo C2 = 2 na Equação 1:
C1 + 2 = 2 Rightarrow C1 = 0

Passo 7

Com C1 = 0 e C2 = 2, a solução final fica:
s(t) = 0 + e^t ( 2 + 12 t^2 - t )
Simplificando:
s(t) = e^t ( 12 t^2 - t + 2 )

Resposta

A solução da equação diferencial é:
s(t) = e^t ( 12 t^2 - t + 2 )

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