Use a regra da cadeia para determinar d zd t o d wd t
z=x e^x y, x=1-t, y=1+2 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt usando a regra da cadeia, sabendo que
z = x e^x y, x = 1 - t, y = 1 + 2t
Vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, e dos derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(x e^x yr) = e^x y + xcdot e^x ycdot y = e^x yl(1 + x yr),
partial zpartial y = partialpartial yl(x e^x yr) = xcdot e^x ycdot x = x^2 e^x y

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em função de t:
dxdt = ddt(1 - t) = -1, dydt = ddt(1 + 2t) = 2

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = e^x y(1 + x y)cdot(-1) + x^2 e^x ycdot 2 = e^x yl(2x^2 - (1 + x y)r)

Passo 5

Substituir x=1-t e y=1+2t:
x y = (1-t)(1+2t)=1 + t -2t^2, x^2=(1-t)^2=1-2t+t^2
Então
2x^2 - (1 + x y) =2(1-2t+t^2) - l(1 + (1+t-2t^2)r) =2-4t+2t^2 -1 -1 -t +2t^2 =-5t +4t^2
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dzdt = e^,1 + t -2t^2l(-5t +4t^2r)

Resposta

dzdt = e^,1 + t -2t^2,l(-5t +4t^2r)

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