Use a regra da cadeia para determinar d zd t o d wd t
z=ln (x^2+y^2), x=cos t, y=sen t

Passo 1

O enunciado define
z = lnl(x^2 + y^2r), x = cos t, y = sen t
e pede a derivada dzdt usando a regra da cadeia em funções de várias variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = lnl(ur)com u = x^2 + y^2,
temos dzdu = 1u e
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y
Pelo encadeamento,
partial zpartial x = dzdu,partial upartial x = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2,
partial zpartial y = dzdu,partial upartial y = 2yx^2+y^2

Passo 3

Agora obtemos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = -sen t, dydt = cos t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituímos tudo e simplificamos:
dzdt = 2xx^2+y^2(-sen t) + 2yx^2+y^2(cos t)
Como x=cos t, y=sen t e x^2+y^2=1,
dzdt = 2l(-cos t,sen t + sen t,cos tr) = 0

Resposta

dzdt = 0

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