Determine todos os subgrupos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de
(com operação de soma) e de
(com operação de multiplicação). O ponto-chave é que ambos são grupos cíclicos finitos e, pela teoria de grupos cíclicos, todo subgrupo de um grupo cíclico de ordem
é cíclico e existe um único subgrupo de cada ordem que divide
.
Passo 2
Para
: esse grupo é cíclico de ordem
, gerado por
. As possíveis ordens de subgrupos são os divisores de
, ou seja,
,
,
e
. Assim, há exatamente um subgrupo para cada uma dessas ordens, gerado pelo elemento de índice
.
Listando explicitamente, os subgrupos de são
Listando explicitamente, os subgrupos de
Passo 3
Para
: esse grupo tem ordem
e também é cíclico. Os divisores de
são
,
,
e
, logo existem subgrupos únicos e cíclicos de cada uma dessas ordens.
Escolhendo geradores convenientes, os subgrupos de são
Escolhendo geradores convenientes, os subgrupos de
Resposta
Subgrupos de
:
,
,
,
.
Subgrupos de :
,
,
,
.
Subgrupos de