Determine todos os subgrupos de (Z8,+) e (Z7^*, cdot).

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de Z8 (com operação de soma) e de Z7^* (com operação de multiplicação). O ponto-chave é que ambos são grupos cíclicos finitos e, pela teoria de grupos cíclicos, todo subgrupo de um grupo cíclico de ordem n é cíclico e existe um único subgrupo de cada ordem que divide n.

Passo 2

Para Z8: esse grupo é cíclico de ordem 8, gerado por 1. As possíveis ordens de subgrupos são os divisores de 8, ou seja, 1, 2, 4 e 8. Assim, há exatamente um subgrupo para cada uma dessas ordens, gerado pelo elemento de índice tfrac8d.
Listando explicitamente, os subgrupos de Z8 são
lang<= 0rang<= = 0, lang<= 4rang<= = 0,4, lang<= 2rang<= = 0,2,4,6, lang<= 1rang<= = Z8

Passo 3

Para Z7^*: esse grupo tem ordem varphi(7)=6 e também é cíclico. Os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6, logo existem subgrupos únicos e cíclicos de cada uma dessas ordens.
Escolhendo geradores convenientes, os subgrupos de Z7^* são
lang<= 1rang<= = 1, lang<= 6rang<= = 1,6, lang<= 2rang<= = 1,2,4, lang<= 3rang<= = Z7^*

Resposta

Subgrupos de Z8: 0, 0,4, 0,2,4,6, Z8.
Subgrupos de Z7^*: 1, 1,6, 1,2,4, Z7^*.

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