Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x0=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(1-x) y^prime prime+x y^prime-y=0, y(0)=-3, y^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências, centrada em x0=0, da equação
(1 - x),y'' + x,y' - y = 0
com condições iniciais y(0)=-3 e y'(0)=2. Vamos usar o método das séries de potências: assumir
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
achar a relação de recorrência para os coeficientes an e, ao final, determinar o raio de convergência.

Passo 2

Derivando a série temos
y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Substituindo em (1-x)y''+x,y'-y=0 e reindexando para escrever tudo em potências de x^m obtém-se, para m>=1,
(m+2)(m+1)am+2 ;-;(m+1)m,am+1;+;m,am;-;am=0
e para m=0 a condição
2,a2-a0=0
Dessa forma a relação de recorrência geral fica
am+2 =m(m+1),am+1 - (m-1),am(m+2)(m+1), m>=1,
e a2=a0/2.

Passo 3

Usando a0=y(0)=-3 e a1=y'(0)=2 temos imediatamente
a2=a02=-32, a3=-12, a4=-18, a5=-140, ;dots
e assim por diante.

Passo 4

Observando os coeficientes percebemos que eles coincidem com a expansão de e^x mais um termo linear. De fato a EDO admite solução geral
y(x)=C1e^x + C2,x
Impondo y(0)=-3 e y'(0)=2 achamos C1=-3 e C2=5. Portanto
y(x)=-3e^x + 5x

Passo 5

Expandindo em série de potências ao redor de 0 obtemos
y(x) =-3sumn=0^inftyx^nn!+5x =-3 + 2x - tfrac32x^2 - tfrac12x^3 - tfrac18x^4 - cdots
Essa série tem raio de convergência infinito, logo é válida para todo xinR.

Resposta

y(x)=-3e^x + 5x Long<=ftrightarrow y(x)=-3 + 2x - tfrac32x^2 - tfrac12x^3 - tfrac18x^4 - cdots,
válido para -infty<x<infty.

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