Determine a solução das equações abaixo em série de potências de
, em torno de
. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências, centrada em
, da equação
com condições iniciais
e
. Vamos usar o método das séries de potências: assumir
achar a relação de recorrência para os coeficientes
e, ao final, determinar o raio de convergência.
Passo 2
Derivando a série temos
Substituindo em
e reindexando para escrever tudo em potências de
obtém-se, para
,
e para
a condição
Dessa forma a relação de recorrência geral fica
e
.
Passo 3
Usando
e
temos imediatamente
e assim por diante.
Passo 4
Observando os coeficientes percebemos que eles coincidem com a expansão de
mais um termo linear. De fato a EDO admite solução geral
Impondo
e
achamos
e
. Portanto
Passo 5
Expandindo em série de potências ao redor de
obtemos
Essa série tem raio de convergência infinito, logo é válida para todo
.
Resposta
válido para
.