Resolva as seguintes equações modulares:
|2 x-5|-|x-2|=3 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação modular |2x - 5| - |x - 2| = 3x + 1. Aqui, estamos lidando com equações envolvendo valores absolutos. Para resolver, precisamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal e dividir a resolução em intervalos baseados nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos onde 2x - 5 = 0 e x - 2 = 0:
  • 2x - 5 = 0 Rightarrow x = 52 = 2,5
  • x - 2 = 0 Rightarrow x = 2
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
  1. x < 2
  2. 2 <= x < 2,5
  3. x >= 2,5

Passo 3

Vamos resolver a equação em cada intervalo:
Intervalo 1: x < 2
  • 2x - 5 < 0 Rightarrow |2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5
  • x - 2 < 0 Rightarrow |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
Substituindo na equação:
-2x + 5 - (-x + 2) = 3x + 1
-2x + 5 + x - 2 = 3x + 1
-x + 3 = 3x + 1
-4x = -2 Rightarrow x = 12
Como x = 12 < 2, é uma solução válida.

Passo 4

Intervalo 2: 2 <= x < 2,5
  • 2x - 5 < 0 Rightarrow |2x - 5| = -2x + 5
  • x - 2 >= 0 Rightarrow |x - 2| = x - 2
Substituindo na equação:
-2x + 5 - (x - 2) = 3x + 1
-2x + 5 - x + 2 = 3x + 1
-3x + 7 = 3x + 1
-6x = -6 Rightarrow x = 1
Como x = 1 < 2, não pertence a este intervalo. Então, sem solução aqui.

Passo 5

Intervalo 3: x >= 2,5
  • 2x - 5 >= 0 Rightarrow |2x - 5| = 2x - 5
  • x - 2 >= 0 Rightarrow |x - 2| = x - 2
Substituindo na equação:
2x - 5 - (x - 2) = 3x + 1
2x - 5 - x + 2 = 3x + 1
x - 3 = 3x + 1
-2x = 4 Rightarrow x = -2
Como x = -2 < 2,5, não pertence a este intervalo. Sem solução aqui também.

Resposta

A única solução da equação é x = 12.

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