Encontre uma função potencial para F(x, y)=(2 x y, x^2-y^2), caso exista.

Passo 1

O enunciado pede uma função potencial para o campo vetorial F(x,y)=(2xy,,x^2-y^2). O conteúdo é de campos conservativos e potenciais: precisamos checar se F é gradiente de alguma função f(x,y) e, em caso afirmativo, encontrar essa f.

Passo 2

Para ver se F é conservativo, comparamos as derivadas parciais mistas: P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2-y^2. Calculamos
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x

Passo 3

Como partial P/partial y=partial Q/partial x e o domínio R^2 é simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Passo 4

Para achar f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y),onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Em seguida, impomos partial f/partial y=Q:
partial fpartial y=x^2 + h'(y)=x^2 - y^2

Passo 6

Logo h'(y)=-y^2, de onde
h(y)=integral -y^2,dy = -y^33 + C

Resposta

f(x,y)=x^2y - tfracy^33 + C

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