Determine a solução das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial y^prime=(y^2-2 x y) / x^2. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, onde a gente busca encontrar funções que satisfazem uma relação envolvendo suas derivadas. Para resolver, vamos usar substituições e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação com uma substituição inteligente. Vamos definir v = yx. Isso significa que y = v cdot x. Essa substituição ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Usando a regra do produto:
y' = v + x cdot v'
Aqui, v' é a derivada de v em relação a x.

Passo 4

Substituímos y e y' na equação original:
v + x cdot v' = (v x)^2 - 2x(v x)x^2
Simplificando o lado direito:
v + x cdot v' = v^2 x^2 - 2v x^2x^2 = v^2 - 2v

Passo 5

Isolamos v':
x cdot v' = v^2 - 2v - v = v^2 - 3v
Então:
v' = v^2 - 3vx

Passo 6

Agora, a equação está separável. Vamos separar as variáveis v e x:
dvv^2 - 3v = dxx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma decomposição em frações parciais:
1v(v - 3) = Av + Bv - 3
Resolvendo, encontramos A = 1-3 e B = 13. Então:
integral ( 1-3v + 13(v - 3) ) dv = integral 1x dx

Passo 7

Calculando as integrais:
1-3 ln|v| + 13 ln|v - 3| = ln|x| + C
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
-ln|v| + ln|v - 3| = 3ln|x| + C'
Usando propriedades dos logaritmos:
ln|v - 3v| = 3ln|x| + C'
Exponenciando ambos os lados:
v - 3v = K x^3 onde K = e^C'
Resolvendo para v:
v - 3 = K x^3 v implies v (1 - K x^3) = 3 implies v = 31 - K x^3

Passo 8

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
yx = 31 - K x^3 implies y = 3x1 - K x^3
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 3x1 - K x^3
onde K é uma constante arbitrária.

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