Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais, onde a gente busca encontrar funções que satisfazem uma relação envolvendo suas derivadas. Para resolver, vamos usar substituições e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação com uma substituição inteligente. Vamos definir . Isso significa que . Essa substituição ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
Aqui, é a derivada de em relação a .
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Isolamos :
Então:
Passo 6
Agora, a equação está separável. Vamos separar as variáveis e :
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma decomposição em frações parciais:
Resolvendo, encontramos e . Então:
Passo 7
Calculando as integrais:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
v - 3v = K x^3 onde K = e^C'
Resolvendo para v:
v - 3 = K x^3 v implies v (1 - K x^3) = 3 implies v = 31 - K x^3