Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^prime-yx=x^2, com y(1)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' - yx = x^2
com y(1)=3. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e usaremos o método do fator integrante para obter a solução.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y' + P(x)y = Q(x)
onde P(x)=-tfrac1x e Q(x)=x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-1, obtendo
x^-1y' - x^-2y = x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto l(x^-1yr)'.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(x^-1yr) = x Longrightarrow x^-1y = integral x,dx = x^22 + C
Então a solução geral é
y = xl(x^22 + Cr) = x^32 + Cx

Passo 6

Para determinar C, usamos y(1)=3, o que leva a
3 = 1^32 + Ccdot1 ;Longrightarrow; C = 3 - 12 = 52
Logo a solução particular é
y = x^32 + 52,x

Resposta

y(x) = x^3 + 5x2

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