Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
y^prime+yx=x^2 e^x, com y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + yx = x^2 e^x, y(1)=0,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = e^ln x = x

Passo 3

Multiplicando a EDO original por mu(x)=x obtemos
x,y' + y = x^3 e^x,
e reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto x,y:
ddxl(x,yr) = x^3 e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y = integral x^3 e^x,dx + C
Usando a fórmula de redução ou integração por partes repetida,
integral x^3 e^x,dx = e^xl(x^3 - 3x^2 + 6x - 6r),
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x,y = e^xl(x^3 - 3x^2 + 6x - 6r) + C

Passo 5

Isolando y, a solução geral fica
y(x) = e^xl(x^3 - 3x^2 + 6x - 6r) + Cx

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0 = el(1^3 - 3cdot1^2 + 6cdot1 - 6r) + C1 = e(-2) + C1 = -2e + C,
portanto C = 2e.

Resposta

y(x) = e^xl(x^3 - 3x^2 + 6x - 6r) + 2ex

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