Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar se ela é de um tipo específico, como separável, exata ou de coeficientes lineares, e utilizar técnicas apropriadas para solucioná-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do método de resolução. Podemos escrever a equação como:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Simplificando o denominador e o numerador para ver se conseguimos uma forma mais manejável.
Passo 3
Observando a expressão, percebemos que a equação pode ser reescrita como:
Agora, vamos tentar manipular essa equação para separá-la em termos de
e
, permitindo que integremos ambos os lados.
Passo 4
Vamos tentar separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Expandindo o lado esquerdo:
Essa forma ainda não facilita a separação, então vamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação original na forma:
Onde:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, tentamos encontrar um fator integrante. Supomos que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
. Multiplicamos toda a equação por
para torná-la exata.
Passo 7
A condição para a exatidão após multiplicar por
é:
Substituindo
,
e
:
Simplificando e resolvendo para
, encontramos que:
Passo 8
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação se torna exata e podemos integrá-la para encontrar a solução geral.
Passo 9
Integrando, obtemos:
Depois de realizar a integração e simplificar, chegamos à solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
é a constante de integração.