Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
(1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
(1 - x y) + (x y - x^2) y' = 0
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais. Para resolver essa equação, vamos precisar identificar se ela é de um tipo específico, como separável, exata ou de coeficientes lineares, e utilizar técnicas apropriadas para solucioná-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do método de resolução. Podemos escrever a equação como:
(x y - x^2) y' = x y - 1
Dividindo ambos os lados por x y - x^2, temos:
y' = x y - 1x y - x^2
Simplificando o denominador e o numerador para ver se conseguimos uma forma mais manejável.

Passo 3

Observando a expressão, percebemos que a equação pode ser reescrita como:
y' = x(y) - 1x(y - x)
Agora, vamos tentar manipular essa equação para separá-la em termos de x e y, permitindo que integremos ambos os lados.

Passo 4

Vamos tentar separar as variáveis. Multiplicando ambos os lados por x(y - x), obtemos:
y' cdot x(y - x) = x y - 1
Expandindo o lado esquerdo:
x y y' - x^2 y' = x y - 1
Essa forma ainda não facilita a separação, então vamos tentar outro método.

Passo 5

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, reescrevemos a equação original na forma:
M(x,y) + N(x,y) y' = 0
Onde:
M(x,y) = 1 - x y e N(x,y) = x y - x^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -x e partial Npartial x = y - 2x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, tentamos encontrar um fator integrante. Supomos que o fator integrante depende apenas de x, ou seja, mu(x). Multiplicamos toda a equação por mu(x) para torná-la exata.

Passo 7

A condição para a exatidão após multiplicar por mu(x) é:
dmudx cdot M + mu cdot partial Mpartial y = mu cdot partial Npartial x
Substituindo M, partial Mpartial y e partial Npartial x:
mu' (1 - x y) - mu x = mu (y - 2x)
Simplificando e resolvendo para mu(x), encontramos que:
mu(x) = e^-integral x , dx = e^-x^22

Passo 8

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^-x^22:
e^-x^22 (1 - x y) + e^-x^22 (x y - x^2) y' = 0
Agora, a equação se torna exata e podemos integrá-la para encontrar a solução geral.

Passo 9

Integrando, obtemos:
integral e^-x^22 (1 - x y) , dx = constante
Depois de realizar a integração e simplificar, chegamos à solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
y = 1x + C e^x^22
onde C é a constante de integração.

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