O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por T(t)=TA+alpha(3^beta t), onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e alpha e beta são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18^circ C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0^circ C após 90 minutos e chegou a -16^circ C após 270 minutos.
Encontre os valores numéricos das constantes alpha e beta; R: alpha=54, beta=-190

Passo 1

Resumindo: a temperatura do corpo no tempo t é dada por
T(t)=TA+alpha,3^beta t,
onde o congelador está a TA=-18^circC. Sabemos que
,T(90)=0 e T(270)=-16. O conteúdo aqui é resolver um sistema exponencial para descobrir alpha e beta, usando propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Aplicando as duas condições ao modelo, obtemos o sistema
-18 + alpha,3^90beta = 0, -18 + alpha,3^270beta = -16
Da primeira equação vem
alpha,3^90beta=18,
e da segunda
alpha,3^270beta=2

Passo 3

Para eliminar alpha, dividimos a segunda expressão pela primeira:
alpha,3^270betaalpha,3^90beta =218 Longrightarrow 3^180beta=19=3^-2
Logo,
180,beta=-2 Longrightarrow beta=-2180=-190

Passo 4

Com beta=-tfrac190, voltamos a alpha,3^90beta=18:
3^90beta=3^90cdot(-1/90)=3^-1=13,
então
alphacdot13=18 Longrightarrow alpha=18cdot3=54

Resposta

alpha=54, beta=-tfrac190

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