Exemplo 5.1: Seja f(x, y)=x^2+y^2. Calcule, pelos dois processos, partial fpartial u(Xo) quando:
u=e2=(0,1) e X0=(2,3);

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^2+y^2 e pede a derivada direcional de f na direção u=(0,1) no ponto X0=(2,3). Vamos calcular isso por dois processos:
  1. definição via limite do quociente de incrementos;
  2. usando o gradiente de f e o produto escalar com u.

Passo 2

Pela definição,
partial fpartial u(X0) =limhto0fl(X0+hur)-f(X0)h
Aqui X0+hu=(2,3+h), então
f(2,3+h)=2^2+(3+h)^2 =4+9+6h+h^2 =13+6h+h^2,
e f(2,3)=13. Logo o quociente é
f(2,3+h)-f(2,3)h =(13+6h+h^2)-13h =6h+h^2h =6+h
Fazendo hto0 vem
partial fpartial u(X0) =6

Passo 3

Pelo método do gradiente, primeiro achamos
nabla f(x,y)=(2x,2y)
Em X0=(2,3) isso dá
nabla f(2,3)=(4,6)
Como u=(0,1) é unitário, a derivada direcional é
nabla f(2,3)cdotu =4cdot0+6cdot1 =6

Passo 4

Os dois processos deram o mesmo valor, conforme a teoria que diz que a derivada direcional em direção unitária é o produto escalar do gradiente com essa direção.

Resposta

O valor de partial fpartial u(X0) é 6.

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