Exemplo 5.1: Seja
. Calcule, pelos dois processos,
quando:
e
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a derivada direcional de
na direção
no ponto
. Vamos calcular isso por dois processos:
- definição via limite do quociente de incrementos;
- usando o gradiente de
e o produto escalar com .
Passo 2
Pela definição,
Aqui
, então
e
. Logo o quociente é
Fazendo
vem
Passo 3
Pelo método do gradiente, primeiro achamos
Em
isso dá
Como
é unitário, a derivada direcional é
Passo 4
Os dois processos deram o mesmo valor, conforme a teoria que diz que a derivada direcional em direção unitária é o produto escalar do gradiente com essa direção.
Resposta
O valor de
é
.