1. (2,0 ptos) Mostre, utilizando a convolução, que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2} t \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a convolução, que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{\left(S^{2}+1\right)^{2}}\right\}=\frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).
Informações dadas e objetivo: temos a função racional em S
\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}
e precisamos encontrar sua transformada inversa pelo método da convolução (ou seja, escrever a função em S como produto de duas transformadas conhecidas e aplicar que a inversa do produto é a convolução das inversas).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar a expressão em S como produto de duas partes cujas inversas conhecemos. Observamos que
\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{S^{2}+1}\cdot\frac{S}{S^{2}+1}.
Isso é apenas álgebra: multiplicando os fatores do lado direito dá o numerador S e o denominador (S^{2}+1)^{2}.

Passo 3

Agora usamos pares transformada/inversa básicos que você deve decorar (ou lembrar) para aplicar a convolução:
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}=\frac{1}{S^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\cos(t)\}=\frac{S}{S^{2}+1}.
Aqui \operatorname{sen}(t) e \cos(t) são as funções no tempo cuja transformada de Laplace são os fatores acima. Cada variável representa: t é o tempo (variável da função no domínio temporal) e S é a variável complexa da transformada.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Convolução para transformadas de Laplace: se
F(S)=\mathcal{L}\{f(t)\},\quad G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(S)G(S)\}= (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,
onde \tau é a variável de integração. No nosso caso, F(S)=\frac{1}{S^{2}+1} com f(t)=\operatorname{sen}(t) e G(S)=\frac{S}{S^{2}+1} com g(t)=\cos(t). Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{S}{(S^{2}+1)^{2}}\right\}=\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.

Passo 5

Calculamos a integral de convolução passo a passo. Use a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\big).
Com A=\tau e B=t-\tau obtemos
\operatorname{sen}(\tau)\cos(t-\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(t)+\operatorname{sen}(2\tau-t)\big).
Logo a convolução fica
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(t)\,d\tau +\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2\tau-t)\,d\tau.

Passo 6

Avaliamo os dois termos separadamente.
Primeiro termo:
\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(t)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(t)\int_{0}^{t}d\tau=\tfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).
(Observe que \operatorname{sen}(t) é constante em relação a \tau.)
Segundo termo: calcule a integral direta
\int_{0}^{t}\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2\tau-t)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2\tau-t)\right]_{0}^{t} =-\tfrac{1}{4}\big(\cos(2t-t)-\cos(-t)\big).
Mas \cos(2t-t)=\cos t e \cos(-t)=\cos t, então esse termo é zero:
-\tfrac{1}{4}(\cos t-\cos t)=0.

Passo 7

Somando os dois termos obtemos
\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t)+0=\tfrac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t).
Portanto, pela convolução, a transformada inversa desejada é \tfrac{1}{2}t\operatorname{sen}(t).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,t\,\operatorname{sen}(t)

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