- (2,0 ptos) Mostre, utilizando a convolução, que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a convolução, que
Informações dadas e objetivo: temos a função racional em
e precisamos encontrar sua transformada inversa pelo método da convolução (ou seja, escrever a função em
como produto de duas transformadas conhecidas e aplicar que a inversa do produto é a convolução das inversas).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar a expressão em
como produto de duas partes cujas inversas conhecemos. Observamos que
Isso é apenas álgebra: multiplicando os fatores do lado direito dá o numerador
e o denominador
.
Passo 3
Agora usamos pares transformada/inversa básicos que você deve decorar (ou lembrar) para aplicar a convolução:
Aqui
e
são as funções no tempo cuja transformada de Laplace são os fatores acima. Cada variável representa:
é o tempo (variável da função no domínio temporal) e
é a variável complexa da transformada.
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Convolução para transformadas de Laplace: se
então
onde
é a variável de integração. No nosso caso,
com
e
com
. Portanto
Passo 5
Calculamos a integral de convolução passo a passo. Use a identidade trigonométrica
Com
e
obtemos
Logo a convolução fica
Passo 6
Avaliamo os dois termos separadamente.
Primeiro termo:
(Observe que
é constante em relação a
.)
Segundo termo: calcule a integral direta
Mas
e
, então esse termo é zero:
Passo 7
Somando os dois termos obtemos
Portanto, pela convolução, a transformada inversa desejada é
.