Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
y d x=\left(y-x y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y\,dx \;=\;\bigl(y - x\,y^{2}\bigr)\,dy.
Reescrevendo em termos de x como função de y, dividimos ambos os lados por y (supondo y\neq0) e obtemos
\frac{dx}{dy} \;+\;y\,x \;=\;1.
Isso é uma equação linear de primeira ordem em x(y) com
p(y)=y,\quad q(y)=1.

Passo 2

Para resolver \dfrac{dx}{dy}+p(y)\,x=q(y), vamos calcular o fator integrante
\mu(y)=\exp\Bigl(\int p(y)\,dy\Bigr) =\exp\Bigl(\int y\,dy\Bigr) =\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr).

Passo 3

Multiplicando toda a equação linear por \mu(y), temos
\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,\frac{dx}{dy} \;+\;y\,\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,x \;=\;\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr).
O lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dy}\Bigl[x\,\exp\!\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\Bigr] =\exp\!\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\bigr).

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a y, obtemos
x\,\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr) =\int \exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando x, chegamos à solução geral
x(y) =\exp\!\Bigl(-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\, \Bigl[\!\!\int \exp\!\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\,dy \;+\;C\Bigr].

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(y)\;=\;\exp\!\Bigl(-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\, \Bigl[\!\!\int \exp\!\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\,dy \;+\;C\Bigr],
ou, de forma implícita,
x\,\exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr) -\int \exp\!\Bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy =C.

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