Determine a solução das equações diferenciais dadas as condições iniciais:
(a) y^{\prime}+2 y=3 e^{-x}, \operatorname{com} y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial com condição inicial. Informações dadas:
y' + 2y = 3e^{-x},

com condição inicial
y(0)=1.

A incógnita é a função y(x). Não vou resolver nada ainda; só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Vamos escolher um método adequado: esta é uma equação diferencial de primeira ordem linear no formato
y' + p(x)\,y = q(x),

onde, no nosso caso, p(x)=2 e q(x)=3e^{-x}. O método padrão e mais direto para esse tipo de equação é usar o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é isso e por que funciona.
Explicação do fator integrante (aula rápida): a ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)y(x). Queremos \mu(x) satisfazendo
\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).

Pelo produto, \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu y' + \mu' y. Para que isso coincida com \mu y' + \mu p y precisamos ter \mu' = \mu p. Essa é uma equação simples para \mu:
\frac{\mu'}{\mu} = p(x).

Integrando, obtemos a fórmula do fator integrante:
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 3

Calculemos o fator integrante para o nosso caso, onde p(x)=2:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.

Expliquei antes que escolhemos \mu assim para transformar o lado esquerdo em derivada de \mu y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 3e^{2x}e^{-x}.

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big) = e^{2x}y' + 2e^{2x}y.

No lado direito simplificamos as exponenciais:
3e^{2x}e^{-x}=3e^{x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)=3e^{x}

integremos:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{2x}y\big)\,dx = \int 3e^{x}\,dx.

A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2x}y. A integral do lado direito é
\int 3e^{x}\,dx = 3e^{x} + C,

onde C é a constante de integração. Portanto:
e^{2x}y = 3e^{x} + C.

Passo 6

Isolando y, dividimos por e^{2x}:
y(x)=3e^{x}e^{-2x} + C e^{-2x} = 3e^{-x} + C e^{-2x}.

Essa é a solução geral da equação diferencial, dependendo da constante C.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=3e^{0} + C e^{0} = 3 + C.

Como y(0)=1, obtemos
1 = 3 + C \quad\Rightarrow\quad C = 1-3 = -2.

Passo 8

Substituindo C=-2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=3e^{-x} - 2e^{-2x}.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova): calculo y' e verifico na equação original.
y(x)=3e^{-x}-2e^{-2x}
y'(x)=-3e^{-x}+4e^{-2x}.

Somando 2y:
y' + 2y = (-3e^{-x}+4e^{-2x}) + 2(3e^{-x}-2e^{-2x})
= -3e^{-x}+4e^{-2x} +6e^{-x}-4e^{-2x} = 3e^{-x},

que é exatamente o lado direito da equação original. A condição y(0)=1 também é satisfeita. Tudo conferido.

Resposta

\displaystyle y(x)=3e^{-x}-2e^{-2x}

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