Determine a solução das equações diferenciais dadas as condições iniciais:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução da equação diferencial com condição inicial. Informações dadas:
com condição inicial
A incógnita é a função
Passo 2
Vamos escolher um método adequado: esta é uma equação diferencial de primeira ordem linear no formato
onde, no nosso caso,
Explicação do fator integrante (aula rápida): a ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Queremos
satisfazendo
Pelo produto,
Integrando, obtemos a fórmula do fator integrante:
Passo 3
Calculemos o fator integrante para o nosso caso, onde
:
Expliquei antes que escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
No lado direito simplificamos as exponenciais:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
integremos:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
onde
Passo 6
Isolando
, dividimos por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial, dependendo da constante
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Como
Passo 8
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova): calculo
e verifico na equação original.
Somando
que é exatamente o lado direito da equação original. A condição