Resolva as equações diferenciais:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para a função
. - A incógnita é
e a variável independente é . - Queremos encontrar a solução geral
que satisfaça essa igualdade para todos os onde a equação faz sentido.
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão para um método que dá conta de equações lineares de primeira ordem. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
. No nosso caso, comparando com a equação dada, temos
Agora explico o método que vamos usar (não se assuste, é só uma receita que funciona sempre nessa situação).
Ideia do fator integrante (explicação didática):
- Se multiplicarmos a equação padrão por uma função
adequada, podemos organizar o lado esquerdo como a derivada do produto . - Procuramos
tal que
- Calculando o lado direito temos
. Para que isso seja verdadeiro para todo é suficiente que
ou seja
- Integrando, obtemos a fórmula prática do fator integrante:
Quando encontrarmos
, teremos
e então integramos ambos os lados para achar
, depois dividimos por
para obter
.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
. Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação original por
temos
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Agora integremos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Precisamos calcular a integral
. Vou fazer isso passo a passo usando integração por partes (método prático e comum):
Escrevemos
. Tomamos:
Então
Fazendo a substituição
(ou notando que
), obtemos
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos
Simplificando,
Observação importante e didática: a integral
não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas, etc.). Por isso introduzimos a função especial “erro” (error function), ou podemos deixar a resposta com essa integral indicada. A definição da função erro é
Passo 5
Voltando à equação para
, substituímos a integral que encontramos:
Agora multiplicamos tudo por
para isolar
:
Aqui a constante na integral indefinida pode ser absorvida em
, por isso esta forma é equivalente à forma com integral definida abaixo.
Passo 6
Para uma forma mais explícita, escolha a integral com limite inferior
:
Substituindo essa expressão na solução (e rearranjando o coeficiente) obtemos a solução geral escrita com a função erro:
onde
é uma constante arbitrária real.
Pequena motivação final: a parte
é a solução geral da equação homogênea
, e os outros termos constituem uma particular da equação completa. Está tudo certo — você pode usar a forma com a integral se não quiser usar a
.