Resolva as equações diferenciais:
(b) y^{\prime}-2 x y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - 2 x y = x^{2}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para a função y(x).
  • A incógnita é y(x) e a variável independente é x.
  • Queremos encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para todos os x onde a equação faz sentido.

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão para um método que dá conta de equações lineares de primeira ordem. A forma padrão é
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. No nosso caso, comparando com a equação dada, temos
p(x)= -2x,\qquad q(x)=x^{2}.
Agora explico o método que vamos usar (não se assuste, é só uma receita que funciona sempre nessa situação).
Ideia do fator integrante (explicação didática):
  • Se multiplicarmos a equação padrão por uma função \mu(x) adequada, podemos organizar o lado esquerdo como a derivada do produto \mu(x)y(x).
  • Procuramos \mu(x) tal que
\big(\mu(x)y(x)\big)'=\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big).
  • Calculando o lado direito temos \mu' y + \mu y' = \mu(y'+p y). Para que isso seja verdadeiro para todo y é suficiente que
\mu'(x)=\mu(x)p(x),
ou seja
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x).
  • Integrando, obtemos a fórmula prática do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Quando encontrarmos \mu, teremos
\big(\mu y\big)'=\mu q,
e então integramos ambos os lados para achar \mu y, depois dividimos por \mu para obter y.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: p(x)=-2x. Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -2x\,dx\Big)=\exp\!\big(-x^{2}\big)=e^{-x^{2}}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) temos
e^{-x^{2}}y' - 2x e^{-x^{2}}y = x^{2} e^{-x^{2}}.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{-x^{2}}y\big)' = x^{2} e^{-x^{2}}.

Passo 4

Agora integremos ambos os lados em relação a x:
e^{-x^{2}}y = \int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Precisamos calcular a integral \int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx. Vou fazer isso passo a passo usando integração por partes (método prático e comum):
Escrevemos x^{2} e^{-x^{2}} = x\cdot (x e^{-x^{2}}). Tomamos:
u=x,\qquad dv = x e^{-x^{2}}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int x e^{-x^{2}}\,dx.
Fazendo a substituição s=-x^{2} (ou notando que \frac{d}{dx}e^{-x^{2}}=-2x e^{-x^{2}}), obtemos
v = -\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}.
Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = x\Big(-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\Big) - \int \Big(-\tfrac{1}{2} e^{-x^{2}}\Big)\,dx.
Simplificando,
\int x^{2} e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac{x}{2} e^{-x^{2}} + \tfrac{1}{2}\int e^{-x^{2}}\,dx.
Observação importante e didática: a integral \int e^{-x^{2}}\,dx não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, trigonométricas, etc.). Por isso introduzimos a função especial “erro” (error function), ou podemos deixar a resposta com essa integral indicada. A definição da função erro é
\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt.

Passo 5

Voltando à equação para e^{-x^{2}}y, substituímos a integral que encontramos:
e^{-x^{2}}y = -\tfrac{x}{2} e^{-x^{2}} + \tfrac{1}{2}\int e^{-x^{2}}\,dx + C.
Agora multiplicamos tudo por e^{x^{2}} para isolar y:
y(x) = -\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{2} e^{x^{2}}\int e^{-x^{2}}\,dx + C e^{x^{2}}.
Aqui a constante na integral indefinida pode ser absorvida em C, por isso esta forma é equivalente à forma com integral definida abaixo.

Passo 6

Para uma forma mais explícita, escolha a integral com limite inferior 0:
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x).
Substituindo essa expressão na solução (e rearranjando o coeficiente) obtemos a solução geral escrita com a função erro:
y(x) = -\tfrac{x}{2} + \tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\,e^{x^{2}}\,\operatorname{erf}(x) + C e^{x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária real.
Pequena motivação final: a parte C e^{x^{2}} é a solução geral da equação homogênea y'-2xy=0, e os outros termos constituem uma particular da equação completa. Está tudo certo — você pode usar a forma com a integral se não quiser usar a \operatorname{erf}.

Resposta

y(x) = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sqrt{\pi}}{4}\,e^{x^{2}}\,\operatorname{erf}(x) + C e^{x^{2}}

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