Resolva as equações diferenciais:
(a) y^{\prime}+3 y=6 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária. A informação dada é:
y'+3y=6x.
A pergunta é: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos reescrever a equação numa forma padrão para equações de primeira ordem:
y'+3y=6x.
Aqui temos uma equação do tipo y'+p(x)y=q(x) com p(x)=3 (constante) e q(x)=6x. A estratégia que vou usar é o fator integrante (integrating factor), que é muito eficiente para esse tipo de equação. Vou explicar o que é e por que funciona.

Passo 3

Definição e ideia do fator integrante:
Para uma equação da forma y'+p(x)y=q(x), o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicar a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo numa derivada do produto \mu(x)y, porque
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\bigl(y'+p y\bigr),
já que \mu'=\mu p. Assim podemos integrar diretamente.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
p(x)=3 \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{3x} obtemos
e^{3x}y'+3e^{3x}y=6x e^{3x}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{3x}y\bigr)'=6x e^{3x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{3x}y\bigr)'\,dx=\int 6x e^{3x}\,dx.
Do lado esquerdo vem simplesmente e^{3x}y. Portanto precisamos calcular a integral
\int 6x e^{3x}\,dx.

Passo 6

Cálculo detalhado de \int 6x e^{3x}\,dx usando integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x e dv=6 e^{3x}dx. Assim
du=dx,\qquad v=\int 6 e^{3x}dx = 6\cdot\frac{1}{3}e^{3x}=2e^{3x}.
Aplicando a fórmula:
\int 6x e^{3x}\,dx = x\cdot 2e^{3x} - \int 2e^{3x}\cdot 1\,dx.
Agora integro o último termo:
\int 2e^{3x}dx = 2\cdot\frac{1}{3}e^{3x}=\frac{2}{3}e^{3x}.
Logo
\int 6x e^{3x}\,dx = 2x e^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação integrada:
e^{3x}y = 2x e^{3x} - \frac{2}{3}e^{3x} + C.
Agora isolamos y dividindo ambos os lados por e^{3x}:
y = 2x - \frac{2}{3} + C e^{-3x}.

Passo 8

Interpretação da solução e comentário prático:
A solução geral é a soma de uma solução particular y_p(x)=2x-\tfrac{2}{3} e da solução geral da homogênea y_h(x)=Ce^{-3x}. O termo exponencial decai para zero quando x\to\infty, deixando a solução particular como comportamento dominante. Se precisar, dá pra achar a mesma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados assumindo y_p=ax+b — o resultado é o mesmo.

Resposta

y(x)=2x-\tfrac{2}{3}+C e^{-3x},\qquad C\in\mathbb{R}.

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