Resolva as equações diferenciais:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária. A informação dada é:
A pergunta é: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos reescrever a equação numa forma padrão para equações de primeira ordem:
Aqui temos uma equação do tipo
com
(constante) e
. A estratégia que vou usar é o fator integrante (integrating factor), que é muito eficiente para esse tipo de equação. Vou explicar o que é e por que funciona.
Passo 3
Definição e ideia do fator integrante:
Para uma equação da forma , o fator integrante é
Para uma equação da forma
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo numa derivada do produto
, porque
já que
. Assim podemos integrar diretamente.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo vem simplesmente
. Portanto precisamos calcular a integral
Passo 6
Cálculo detalhado de
usando integração por partes.
A fórmula de integração por partes é
A fórmula de integração por partes é
Escolho
e
. Assim
Aplicando a fórmula:
Agora integro o último termo:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Interpretação da solução e comentário prático:
A solução geral é a soma de uma solução particular e da solução geral da homogênea
. O termo exponencial decai para zero quando
, deixando a solução particular como comportamento dominante. Se precisar, dá pra achar a mesma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados assumindo
— o resultado é o mesmo.
A solução geral é a soma de uma solução particular