Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução da homogênea e depois uma particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Estudamos a equação homogênea associada
A equação característica é
cuja única raiz dupla é
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea, o termo do lado direito é
, isto é, um polinômio de grau 1 vezes
. Como
não é raiz da característica, assumimos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
temos
Comparando coeficientes do polinômio em
:
Assim
Resposta
A solução geral é