Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes indeterminados para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=x e^4 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' - 4y' + 4y = x e^4x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro encontrar a solução da homogênea e depois uma particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea associada
y'' - 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0,
cuja única raiz dupla é r=2. Logo a solução geral da homogênea é
yh = l(C1 + C2 xr)e^2x

Passo 3

Para a parte não homogênea, o termo do lado direito é x e^4x, isto é, um polinômio de grau 1 vezes e^4x. Como r=4 não é raiz da característica, assumimos uma solução particular da forma
yp = (A x + B),e^4x,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = l[4A x + (4B + A)r]e^4x, yp'' = l[16A x + (8A + 16B)r]e^4x
Substituindo em y'' -4y' +4y temos
yp'' - 4yp' + 4yp = l[16A x + (8A+16B)r]e^4x -4l[4A x + (4B+A)r]e^4x +4l[A x + Br]e^4x
=l[4A x + (4A+4B)r]e^4x stackrel!= x e^4x
Comparando coeficientes do polinômio em x:
4A = 1 Rightarrow A = tfrac14, 4A + 4B = 0 Rightarrow B = -tfrac14
Assim
yp = l(tfrac14 x - tfrac14r)e^4x

Resposta

A solução geral é
y(x) = underbracel(C1 + C2 xr)e^2xyh ;+; underbracel(tfrac14 x - tfrac14r)e^4xyp

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