Determine a solução das equações exatas:
\quad 1+\frac{y}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
1 + \frac{y}{x} + \ln x \,\frac{dy}{dx} = 0
e pede a sua solução geral. O conteúdo aqui é o de equações exatas, em que escrevemos a ODE no formato
M(x,y) + N(x,y)\,\frac{dy}{dx} = 0
e utilizamos o teste de exatidão \partial M/\partial y = \partial N/\partial x para encontrar uma função potencial \psi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 1 + \frac{y}{x}, \quad N(x,y) = \ln x.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = 1 + \frac{y}{x}.
Integrando em x, com y tratado como constante, vem
\psi(x,y) = \int\Bigl(1 + \frac{y}{x}\Bigr)\,dx = x + y\ln x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \ln x + h'(y)
e impomos que isso seja igual a N(x,y)=\ln x. Logo
\ln x + h'(y) = \ln x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{constante}.

Passo 5

A função potencial final é
\psi(x,y) = x + y\ln x = C,
onde C é a constante geral de integração. Essa relação implícita define a solução geral da equação.

Resposta

\displaystyle x + y\ln x = C, com C constante.

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