Determine a solução das equações exatas:
\quad 1+\frac{y}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}=0
\quad 1+\frac{y}{x}+\ln x \frac{d y}{d x}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a sua solução geral. O conteúdo aqui é o de equações exatas, em que escrevemos a ODE no formato
e utilizamos o teste de exatidão
para encontrar uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
tal que
Integrando em
, com
tratado como constante, vem
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
e impomos que isso seja igual a
. Logo
Passo 5
A função potencial final é
onde
é a constante geral de integração. Essa relação implícita define a solução geral da equação.