Determine a solução das equações exatas:
2 x y^{2}+\cos x+\left(2 x^{2} y+\frac{1}{y}\right) \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2 x y^{2} + \cos x + \Bigl(2 x^{2} y + \frac{1}{y}\Bigr)\frac{dy}{dx} = 0
que podemos escrever na forma
M(x,y) + N(x,y)\,\frac{dy}{dx} = 0
com
M(x,y) = 2 x y^{2} + \cos x, \quad N(x,y) = 2 x^{2} y + \frac{1}{y}.
O conteúdo aqui é equação exata, e para resolver precisamos verificar se
\partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Se for exata, existe uma função potencial
\Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N,
e a solução geral é \Psi(x,y)=C.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y^{2} + \cos x\bigr) = 4\,x\,y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2 x^{2}y + \frac{1}{y}\Bigr) = 4\,x\,y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int M(x,y)\,dx = \int \bigl(2 x y^{2} + \cos x\bigr)\,dx = x^{2}y^{2} + \sin x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2\,x^{2}y + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 2\,x^{2}y + \frac{1}{y}.
Isso implica
h'(y) = \frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \ln\lvert y\rvert.

Resposta

A solução implícita geral da equação é
x^{2}y^{2} + \sin x + \ln\lvert y\rvert = C.

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