Encontre a solução do PVI usando o método do fator integrante:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}(t)+5 y(t) \equiv 20 \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + 5\,y(t) = 20,\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = e^{\displaystyle\int 5\,dt} = e^{5t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{5t}y'(t) + 5\,e^{5t}y(t) = 20\,e^{5t},
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y(t)\,e^{5t}, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(y(t)\,e^{5t}\bigr) = 20\,e^{5t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(y(t)\,e^{5t}\bigr)\,dt = \int 20\,e^{5t}\,dt
y(t)\,e^{5t} = 20 \int e^{5t}\,dt = 20\cdot \frac{1}{5}\,e^{5t} + C = 4\,e^{5t} + C.

Passo 4

Isolando y(t) vem
y(t) = 4 + C\,e^{-5t}.
Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 4 + C\cdot e^{0} = 4 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -3.

Resposta

\boxed{y(t) = 4 \;-\; 3\,e^{-5t}.}

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