Resolva o seguinte PVI usando o método da separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l} -t+(y(t))^{2} y^{\prime}(t) \equiv 0 \\\ y(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

Estamos resolvendo o PVI dado por
-t + \bigl(y(t)\bigr)^{2}\,y'(t)=0,
com a condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser tratada pelo método de separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma de derivada isolada, temos
\bigl(y(t)\bigr)^{2}\,\frac{dy}{dt}=t.
Agora separamos as variáveis y e t:
y^{2}\,dy = t\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int t\,dt
o que leva a
\frac{y^{3}}{3}=\frac{t^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Ao substituir t=0 e y=1 em
\frac{y^{3}}{3}=\frac{t^{2}}{2}+C
obtemos
\frac{1^{3}}{3}=0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo C de volta na expressão geral, temos
\frac{y^{3}}{3}=\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad y^{3 =} \frac{3\,t^{2}}{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad y(t)=\biggl(1+\frac{3}{2}\,t^{2}\biggr)^{\!\tfrac{1}{3}}.

Resposta

y(t)=\biggl(1+\frac{3}{2}\,t^{2}\biggr)^{\!\tfrac{1}{3}}.

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