Determine a solução das equações exatas:
2 x y-\operatorname{sen} x+\left(x^{2}+e^{y}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x y - \sin x + \bigl(x^2 + e^y\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0
que podemos reescrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y) = 2xy - \sin x, \quad N(x,y) = x^2 + e^y.
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas: primeiro vamos verificar se ela é exata, isto é, se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Em seguida, encontraremos uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M e \Psi_y = N, o que nos dará a solução implícita \Psi(x,y)=C.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais necessárias para verificar a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - \sin x) = 2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + e^y) = 2x.
Como \partial M/\partial y = 2x = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora buscamos uma função \Psi(x,y) tal que \Psi_x = M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int (2xy - \sin x)\,dx = \int 2xy\,dx \;-\;\int \sin x\,dx = x^2y + \cos x + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos a condição \Psi_y = N. Calculamos
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y + \cos x + h(y)\bigr) = x^2 + h'(y),
e igualamos a N(x,y)=x^2+e^y. Assim,
x^2 + h'(y) = x^2 + e^y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = e^y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = e^y.
Portanto \Psi(x,y) = x^2y + \cos x + e^y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\boxed{x^2y + \cos x + e^y = C,}
onde C é a constante de integração.

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