Determine a solução das equações exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que podemos reescrever na forma
onde
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas: primeiro vamos verificar se ela é exata, isto é, se
. Em seguida, encontraremos uma função potencial
tal que
e
, o que nos dará a solução implícita
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais necessárias para verificar a exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora buscamos uma função
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a condição
. Calculamos
e igualamos a
. Assim,
Portanto
.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é a constante de integração.