Resolva o pvi.
d yd x+x^2 y & =x^2 y(1) & =1

Passo 1

Então, temos um problema de valor inicial (PVI) que nos pede para resolver a seguinte equação diferencial:
dydx + x^2 y = x^2
com a condição inicial y(1) = 1 . Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, podemos ver que:
  • P(x) = x^2
  • Q(x) = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral x^2 dx = e^x^33

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
e^x^33 cdot dydx + e^x^33 cdot x^2 y = e^x^33 cdot x^2
Isso simplifica para:
ddx ( y cdot e^x^33 ) = e^x^33 cdot x^2

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( y cdot e^x^33 ) dx = integral e^x^33 cdot x^2 dx
O lado esquerdo simplifica para:
y cdot e^x^33 = integral e^x^33 cdot x^2 dx + C

Passo 6

A integral no lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja u = x^33 , então du = x^2 dx . Então:
integral e^u du = e^u + C = e^x^33 + C
Substituindo de volta, temos:
y cdot e^x^33 = e^x^33 + C
Agora, isolamos y :
y = 1 + C cdot e^-x^33

Passo 7

Por fim, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar a constante C :
1 = 1 + C cdot e^-1^33 1 = 1 + C cdot e^-13 0 = C cdot e^-13 C = 0

Resposta

A solução do problema é:
y(x) = 1

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