Resolva o pvi.
Passo 1
Então, temos um problema de valor inicial (PVI) que nos pede para resolver a seguinte equação diferencial:
com a condição inicial
. Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
A integral no lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
. Então:
Substituindo de volta, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do problema é: