Encontre a solução do P.V.I.
Sugestão: observe que y1=1 é uma solução de (1-x^2) y^prime prime+2 x y^prime=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com duas condições iniciais. O enunciado é:
(1-x^2) y'' + 2x y' = 0 y(0) = 1 y'(0) = 2
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas para equações diferenciais lineares de segunda ordem. Além disso, a dica que recebemos é que y1 = 1 é uma solução da equação homogênea. Vamos usar isso para encontrar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para determinar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar que y1 = 1 é realmente uma solução da equação homogênea:
Substituindo y = 1 na equação:
(1 - x^2)(0) + 2x(0) = 0
Como y' = 0 e y'' = 0 , a equação é satisfeita, confirmando que y1 = 1 é uma solução.
Passo 3
Como já temos uma solução y1 , podemos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2 . Assumimos que:
y2 = v(x) cdot y1 = v(x) cdot 1 = v(x)
Agora, vamos encontrar y2' e y2'' :
y2' = v' y2'' = v''
Substituindo y2 , y2' e y2'' na equação original:
(1 - x^2) v'' + 2x v' = 0
Passo 4
Essa agora é uma equação diferencial de primeira ordem para v' . Podemos fazer uma substituição:
u = v' u' = v''
Substituindo na equação:
(1 - x^2) u' + 2x u = 0
Isso é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 5
Vamos reescrever a equação:
u' + 2x1 - x^2 u = 0
O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 2x1 - x^2 dx
Calculando a integral:
integral 2x1 - x^2 dx = -ln|1 - x^2| + C
Então:
mu(x) = e^-ln|1 - x^2| = 11 - x^2
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
11 - x^2 u' + 2x(1 - x^2)^2 u = 0
Isso simplifica para:
ddx( u1 - x^2 ) = 0
Integrando ambos os lados:
u1 - x^2 = C Rightarrow u = C(1 - x^2)
Passo 7
Lembrando que u = v' , temos:
v' = C(1 - x^2)
Integrando novamente para encontrar v(x) :
v = C ( x - x^33 ) + D
Como y2 = v(x) , a segunda solução é:
y2 = C ( x - x^33 ) + D
Passo 8
Agora, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções y1 e y2 :
y(x) = A y1 + B y2 = A cdot 1 + B ( x - x^33 )
Ou seja:
y(x) = A + B ( x - x^33 )
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B .