Encontre a solução do P.V.I. l(1-x^2) y^prime prime+2 x y^prime=0 y(0)=1 y^prime(0)=2
Sugestão: observe que y1=1 é uma solução de (1-x^2) y^prime prime+2 x y^prime=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com duas condições iniciais. O enunciado é:
(1-x^2) y'' + 2x y' = 0 y(0) = 1 y'(0) = 2
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas para equações diferenciais lineares de segunda ordem. Além disso, a dica que recebemos é que y1 = 1 é uma solução da equação homogênea. Vamos usar isso para encontrar a solução geral e, depois, aplicar as condições iniciais para determinar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que y1 = 1 é realmente uma solução da equação homogênea:
Substituindo y = 1 na equação:
(1 - x^2)(0) + 2x(0) = 0
Como y' = 0 e y'' = 0 , a equação é satisfeita, confirmando que y1 = 1 é uma solução.

Passo 3

Como já temos uma solução y1 , podemos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2 . Assumimos que:
y2 = v(x) cdot y1 = v(x) cdot 1 = v(x)
Agora, vamos encontrar y2' e y2'' :
y2' = v' y2'' = v''
Substituindo y2 , y2' e y2'' na equação original:
(1 - x^2) v'' + 2x v' = 0

Passo 4

Essa agora é uma equação diferencial de primeira ordem para v' . Podemos fazer uma substituição:
u = v' u' = v''
Substituindo na equação:
(1 - x^2) u' + 2x u = 0
Isso é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 5

Vamos reescrever a equação:
u' + 2x1 - x^2 u = 0
O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral 2x1 - x^2 dx
Calculando a integral:
integral 2x1 - x^2 dx = -ln|1 - x^2| + C
Então:
mu(x) = e^-ln|1 - x^2| = 11 - x^2

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
11 - x^2 u' + 2x(1 - x^2)^2 u = 0
Isso simplifica para:
ddx( u1 - x^2 ) = 0
Integrando ambos os lados:
u1 - x^2 = C Rightarrow u = C(1 - x^2)

Passo 7

Lembrando que u = v' , temos:
v' = C(1 - x^2)
Integrando novamente para encontrar v(x) :
v = C ( x - x^33 ) + D
Como y2 = v(x) , a segunda solução é:
y2 = C ( x - x^33 ) + D

Passo 8

Agora, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das soluções y1 e y2 :
y(x) = A y1 + B y2 = A cdot 1 + B ( x - x^33 )
Ou seja:
y(x) = A + B ( x - x^33 )

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de A e B .
Primeira condição: y(0) = 1
Substituindo x = 0 :
1 = A + B ( 0 - 0 ) Rightarrow A = 1
Segunda condição: y'(0) = 2
Primeiro, encontramos a derivada de y(x) :
y'(x) = B ( 1 - x^2 )
Substituindo x = 0 :
2 = B (1 - 0) Rightarrow B = 2

Resposta

A solução do P.V.I. é:
y(x) = 1 + 2 ( x - x^33 )

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