Resolva utilizando substituição trigonométrica
integral d xraizx^2+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxraizx^2+2
usando substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando aparece raizx^2+a^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x = raiz2,tantheta,
pois assim
raizx^2+2 = raiz2tan^2theta + 2 = raiz2,sectheta
Além disso,
dx = raiz2,sec^2theta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dxraizx^2+2 = integral raiz2,sec^2theta,dthetaraiz2,sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 4

A primitiva de sectheta é bem conhecida:
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 5

Retornando à variável x, temos
tantheta = dfracxraiz2 e
sectheta = raiz1+tan^2theta = dfracraizx^2+2raiz2.
Logo,
lnl|sectheta + tanthetar| = ln!l|raizx^2+2raiz2 + xraiz2r| = lnl|x + raizx^2+2r| - lnraiz2
Como -lnraiz2 pode ser absorvido na constante de integração, ficamos com a forma final.

Resposta

integral dxraizx^2+2 = lnl|x + raizx^2+2r| + C

Exercícios relacionados