Determine a solução geral de cada equação linear abaixo.
\frac{d P}{d t}+2 t P=P+4 t-2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dP}{dt} + 2\,t\,P = P + 4\,t - 2.
O conteúdo é resolução de ODEs lineares de primeira ordem e precisaremos transformar a equação na forma padrão
P' + a(t)\,P = b(t),
calcular o fator integrante e integrar.

Passo 2

Colocamos todos os termos com P do mesmo lado e isolamos P':
\frac{dP}{dt} + 2t\,P - P = 4t - 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dP}{dt} + (2t - 1)\,P = 4t - 2.
Aqui a(t)=2t-1 e b(t)=4t-2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int a(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int (2t-1)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t^2 - t\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t), obtendo
\exp(t^2 - t)\,\frac{dP}{dt} + (2t-1)\,\exp(t^2 - t)\,P = (4t-2)\,\exp(t^2 - t).
O lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dt}\bigl[P\,\exp(t^2 - t)\bigr]. Assim, integramos ambos os lados:
\frac{d}{dt}\Bigl(P\,e^{t^2 - t}\Bigr) = (4t-2)\,e^{t^2 - t} = 2\,(2t-1)\,e^{t^2 - t}.
Fazendo a substituição u = t^2 - t, du = (2t-1)\,dt,
\int 2\,(2t-1)\,e^{t^2 - t}\,dt = 2\int e^{u}\,du = 2\,e^{u} = 2\,e^{t^2 - t} + C.

Passo 5

Temos então
P\,e^{t^2 - t} = 2\,e^{t^2 - t} + C \quad\Longrightarrow\quad P(t) = 2 + C\,e^{-\,t^2 + t},
onde C é a constante de integração.

Resposta

P(t) = 2 + C\,e^{-t^2 + t},
com C\in\mathbb{R}.

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