No texto foi mostrado que toda equação diferencial homogênea pode ser escrita na forma
\frac{d y}{d x}=F\left(\frac{y}{x}\right) .
Mostre, agora, que toda equação do tipo acima é homogênea.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer equação diferencial da forma
\frac{dy}{dx}=F\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
é homogênea.

Passo 2

Lembrando a definição: a equação
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
é homogênea se, para todo \lambda\neq0, vale
f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).

Passo 3

Defina f(x,y)=F\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). Então
f(\lambda x,\lambda y) =F\!\Bigl(\frac{\lambda y}{\lambda x}\Bigr) =F\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =f(x,y),
ou seja, f satisfaz a condição de homogeneidade de grau zero.

Resposta

A equação
\frac{dy}{dx}=F\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
é homogênea, pois sua função de coeficiente satisfaz \;f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).

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