Determine a solução geral de cada equação linear abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{1-y \cos ^{3} x}{\cos ^{2} x \sin x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{1 - y\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}
que é linear em y. Vamos escrever na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)
e resolver usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo o lado direito,
\frac{1 - y\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x} =\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}-\frac{y\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x} =\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}-y\,\frac{\cos x}{\sin x}.
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx}+\cot x\,y=\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}.

Passo 3

Identificamos p(x)=\cot x. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} =e^{\int\cot x\,dx} =e^{\ln|\sin x|} =|\sin x|.
Para simplicidade, tomamos \mu(x)=\sin x.

Passo 4

Multiplicando tudo por \sin x, a equação torna-se
\sin x\,\frac{dy}{dx}+\sin x\cot x\,y =(\sin x\,y)' \quad\text{e}\quad \sin x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x} =\operatorname{sec}^{2}x.
Assim
(\sin x\,y)'=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Integrando em x,
\sin x\,y=\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx + C =\tan x + C.

Passo 6

Isolando y,
y=\frac{\tan x + C}{\sin x} =\frac{\sin x/\cos x}{\sin x}+\frac{C}{\sin x} =\operatorname{sec} x + C\,\csc x.

Resposta

y(x)=\operatorname{sec} x + C\,\csc x.

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