Por meio da substituição u=x+y+1 resolva a EDO
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\ln (x+y+1)}-1 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(x+y+1)} - 1
e sugere a substituição
u = x + y + 1.
O conteúdo aqui é transformar a EDO num formato de variáveis separáveis, usando a relação entre du/dx e dy/dx, e depois integrar.

Passo 2

Como u = x+y+1, temos
\frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1.
Substituindo isso na EDO original:
\frac{du}{dx} - 1 = \frac{1}{\ln u} - 1.

Passo 3

Isolando \,du/dx:
\frac{du}{dx} = \frac{1}{\ln u}.
Agora a equação está na forma de variáveis separáveis.

Passo 4

Separe as variáveis u e x:
\ln u \,du = dx.
Em seguida, integre ambos os lados:
\int \ln u \,du = \int dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \ln u\,du, use a integração por partes com v = \ln u e dw = du, obtendo
\int \ln u\,du = u\ln u - u + C_1.
Logo a igualdade com o lado direito dá
u\ln u - u = x + C,
onde C é a constante de integração geral.

Passo 6

Retornando à variável original y, lembre que u = x+y+1. Assim a solução geral implícita fica
(x+y+1)\ln(x+y+1) - (x+y+1) = x + C.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
(x+y+1)\ln(x+y+1) - (x+y+1) - x = C,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados